Diagonal 구하는 피타고라스 공식 쉽게 구하는 법

필요성 :
예를 들어 사진의 가로가 36 mm 이고 세로가 24 mm 일때 대각선은 얼마냐?
라고 물으면 제곱 계산을 두번이나 해야 하는데다가
square root 계산도 해야 하므로 계산기를 두드려야만 하므로 불편하다.

해결책 (Pythagorean Approximation):
계산기를 두드릴 때 두드리더라도 대충 얼마인지 감은 잡고 싶을 경우,
Pythagorean Approximation 이라는 공식이 있다.

이 공식을 이용하면 sqrt 계산 없이 쉽게 diagonal 길이 값을 적은 오차로 계산할 수 있다.

(diagonal side) = (longer side) * 7/8 + (shorter side) / 2

예를 들어 긴 변이 8, 짧은 변이 6인 사각형의 대각선 길이를 이 공식으로 구하면,
8 에 7/8을 곱하면 7 이고
6 의 절반은 3 이므로
이 둘을 더하면 10 이 된다.
즉 대각선의 길이는 10 으로 계산된다.

이 경우는 운좋게 정확한 값이 얻어졌는데
다른 경우에 대해서도 별 큰 오차 없이 값이 얻어지므로 매우 유용하다.

이것은 0, 45, 90 도에 가까운 각도의 삼각형에 대해서 매우 작은 오차를 보인다고 한다.
실제 계산은 컴퓨터로 하더라도 쉽게 감잡기 위한 공식으로 좋다.

감 잡기 좋은 공식:
7/8 을 곱하는 것은 힘드니까 그냥 긴 변의 길이에서 1/10 을 빼는 방식으로 계산해도 된다.

쉽게 생각한다면,

긴 변에서 10분의 1 정도를 빼준 후 짧은 변 길이의 반을 더하면 대각선 길이가 된다

라고 기억해주면 아주 쉽게 감이 잡힐 것이다.

계산 예:
35mm 필름 사진을 예로 들어보자.
35mm 필름 포맷은 8 perforation 에 38mm 의 길이이며 이는 영화 필름이나 사진 필름이나 똑같다. 사진필름의 경우 8 perforation 에 하나의 사진이 찍히며 각 사진은 2mm 씩의 갭을 두므로 사진의 가로 길이는 38 mm - 2 mm = 36 mm 가 되고, 세로 길이는 perforation 영역을 제하고 약 24 mm 가 된다.

즉 가로 36mm, 세로 24mm 의 3:2 aspect ratio 를 가진 사진이 바로 보통의 필름사진이 되는 것이다.
그럼 이 사진의 대각선 길이를 계산해보자. 우선 36mm 에서 1/8 을 빼줘야 하는데 계산이 어려우므로 그냥 1/10 보다 좀 큰 값 정도를 빼준다고 가정해보자. 그러면 3.6mm 보다 좀 큰 값 즉 4 mm 를 빼면 되므로 32 mm 가 되고, 24 mm 의 절반은 12 mm 가 되므로 이들을 더하면 32 + 12 = 44 즉 44 mm 가 대략의 대각선의 길이가 된다.

실제 피타고라스의 정리를 써서 정확한 값을 계산하면 43.27 mm 정도가 나오고
Pythagorean Approximation 공식을 써서 계산하면 43.5 mm 가 나오므로
44 mm 라는 대략의 값은 꽤 근접한 값이라 볼 수 있다.

레퍼런스 : Pythagorean Approximation